Minimalna liczba więzów w analizie MES

Według zasad mechaniki pojęcie więzów oznacza każdy rodzaj ograniczenia ruchu jaki może zostać nadany ciału. Minimalna liczba więzów dla dowolnego układu jest natomiast taką (minimalną) liczbą wprowadzonych ograniczeń przemieszczeń, która jest wymagana do wyeliminowania ruchu ciała sztywnego. Każdy obiekt może posiadać maksymalnie 6 stopni swobody związanych z takim ruchem – 3 translacyjne oraz 3 rotacyjne. W przestrzeni dwuwymiarowej (2D) liczba ta zmniejsza się do 3 stopni swobody – 2 translacyjnych oraz 1 rotacyjnego. W analizach MES użytkownik sam podejmuje decyzję o stopniach swobody w układzie na podstawie rodzaju prowadzonych badań oraz w zależności od typu zastosowanych elementów skończonych. Należy przyjąć w układzie odpowiednią liczbę więzów, w przeciwnym wypadku potencjalny ruch struktury nie zostanie dostatecznie ograniczony,  a wyznaczenie rozwiązań w analizie statycznej stanie się niemożliwe, ze względu  na osobliwość macierzy sztywności.

Dobór stopni swobody układu uzależniony jest od charakteru jego pracy.  W badaniach numerycznych weryfikowane są niekiedy nawet dziesiątki kombinacji warunków brzegowych i obciążeń, a odpowiedź systemu skrupulatnie analizowana.  Niejednokrotnie bardziej restrykcyjne warunki brzegowe przyjmowane są celowo,  jaki jest więc cel stosowania minimalnej liczby więzów? Można go sprowadzić do 3 głównych punktów:

1. Testy poprawności działania układów (z ang. sanity checks);
2. Analizy układów zrównoważonych;
3. Submodeling.

Sposób działania omawianej metody zostanie przybliżony z wykorzystaniem kilku nieskomplikowanych przykładów. Rozpatrzmy analizę 2D elementu belkowego  i wybierzmy jego dwa skrajne węzły, załóżmy że oznaczone jako N1 oraz N2 (przedstawione w powiększeniu na rys. 1). W przestrzeni dwuwymiarowej ciało może posiadać maksymalnie 3 stopnie swobody – dwa translacyjne i jeden obrotowy. W węźle N1 odbierzmy oba translacyjne stopnie swobody. W węźle N2 natomiast translacyjny stopień swobody na kierunku Y, prostopadłym do linii łączącej oba węzły. Dzięki przemieszczeniowym więzom przyjętym w węźle N1 nastąpiła blokada przemieszczeniowych stopni swobody bryły sztywnej. Za pomocą blokady przemieszczeń na kierunku y w węźle N2 odebrana została możliwość rotacji bryły sztywnej. Ruch ciała sztywnego w rozważanym układzie zostaje więc wyeliminowany, bo odebrane zostały jego wszystkie trzy stopnie swobody.

Przeprowadźmy w ramach innego przykładu analizę 3D modelu powłoki  o grubości 5 mm, wykonanej ze stali. W analizie mechanicznej powłoki posiadają na ogół sześć stopni swobody. Dobierzmy trzy węzły narożnikowe, oznaczone jako N1, N2, N3 (rys. 2). W węźle N1 odebrane zostają wszystkie 3 translacyjne stopnie swobody. W węźle N2 zablokowane zostają przemieszczenia na kierunkach x2 i y2,  a w węźle N3 tylko przemieszczenia na kierunku normalnym do powierzchni ciała, czyli na kierunku Z (rys. 3).

Blokada przemieszczeń wzdłuż osi y2 skutkuje blokadą obrotu wokół osi z1,  tego samego typu blokada na kierunku osi z2 uniemożliwi obrót względem osi y1. Blokada translacji dla osi z3 spowoduje uniemożliwienie obrotu układu wokół punktu N1 (blokada rotacji względem osi z1).Wszystkie 6 stopni swobody zostało odebranych z wykorzystaniem tylko więzów translacyjnych. Ruch ciała sztywnego w rozważanym układzie został wyeliminowany.

W celu sprawdzenia poprawności przyjęcia warunków brzegowych zastosowano obciążenie za pomocą ciśnienia o wartości 1 MPa na kierunku normalnym  do powierzchni. Na ilustracji nr 4 przedstawiono mapę konturową naprężeń redukowanych dla rozważanej płyty.

Testy poprawności działania układów

Jedną z korzyści wynikających z zastosowania minimalnej liczby więzów jest  to, że ich użycie umożliwia zachodzenie zjawiska rozszerzalności cieplnej, bez względu na dobór wykorzystanych węzłów. Rozpatrzmy model ciała swobodnego  i wykorzystajmy przedstawiony w poprzednim przykładzie model powłoki. Przeprowadźmy dla niego analizę termiczno-mechaniczną ze sprzężeniem słabym.  W analizie termicznej niech zadane zostanie jednorodne pole temperaturowe (50 ºC),  w analizie mechanicznej wprowadźmy najmniejszą wymaganą liczbę więzów.  Przy takich więzach w wyniku przeprowadzonych analiz uzyskane w statycznej analizie mechanicznej naprężenia termiczne powinny być zbliżone do wartości 0. Jest to jedna  z metod sanity check, przeprowadzana w celu upewnienia się, że na odpowiedź układu nie wpływa w znacznym stopniu oddziaływanie więzów wewnętrznych.

Wartości przedstawione na mapie konturowej naprężeń redukowanych (rys. 5), uzyskanej przy wprowadzeniu więzów eliminujących tylko ruch bryły sztywnej są bliskie zeru.Wartości przedstawione na mapie konturowej naprężeń redukowanych, uzyskanej przy całkowitym utwierdzeniu wszystkich trzech węzłów są znacznie wyższe od zera. Świadczy to o wpływie oddziaływania tzw. więzów wewnętrznych.

Analizy układów zrównoważonych

Istnieje mnoga liczba przykładów układów, w których następuje równoważenie się przyłożonych obciążeń. W połączeniach śrubowych siła rozciągająca śrubę i siła ściskająca blachy pozostają w równowadze. Do kategorii tej zaliczają się ciała w stanie unoszenia lub zanurzenia. Przykładem tego typu układu może być zbiornik pływający w cieczy. W układzie takim siła wyporu równoważona jest przez ciężar ciała (rys. 7).

 Przy rozpatrywaniu przypadków opisanych powyżej ciężko o zdefiniowanie punktów reakcji układu, ze względu na fakt, że w rzeczywistości gdy oddziałujące siły równoważą się, nie występują żadne siły reakcji. Każdy z zaaplikowanych w analizie numerycznej więzów tylko w celu uzyskania rozwiązań prawdopodobnie nadmiernie ograniczy układ i będzie wprowadzał pewne przekłamanie. W takich przypadkach można wykorzystać zasadę minimalnej liczby więzów, by wyznaczyć rozwiązania. Należy jednak zwrócić szczególną uwagę na dwa aspekty:

1. Z uwagi na fakt, że więzy mogą być narzucane w dowolnych węzłach, nie tylko reakcja wypadkowa, ale także poszczególne reakcje w miejscu narzucenia więzów powinny być równe zero.
2. Dowolność w przyjmowaniu węzłów spowoduje także, że w zależności  od doboru węzłów utwierdzanych mapy konturowe przemieszczeń  wypadkowych będą wykazywać różnice. W mapach konturowych naprężeń rozbieżności nie będą występować.

Warunek zawarty w punkcie nr 2 wynika zasady geometrycznej niezmienności układów, która głosi, że aby możliwe było wyznaczenie prawidłowych rozwiązań należy nie tylko narzucić odpowiednią liczbę więzów w układzie, ale że muszą one być dodatkowo odpowiednio rozmieszczone. Znaczenie punktu nr 2, zostanie objaśnione  na podstawie analizy 2D modelu krążka z otworami (płaski stan naprężeń), poddanego równomiernemu ściskaniu z wykorzystaniem ciśnienia o wartości 0,145 MPa.  W rozpatrywanym przykładzie zostanie wykorzystana technika minimalnej liczby więzów, polegająca na narzuceniu translacyjnych ograniczeń tylko dla dwóch węzłów  w układzie. Zostaną zrealizowane dwie odrębne analizy – dla odmiennie przyjętych par węzłów. Uzyskane mapy konturowe przemieszczeń wypadkowych oraz naprężeń zostaną ze sobą porównane.

ANSYS Mechanical posiada narzędzia do wprowadzania zarówno warunków brzegowych, jak i obciążeń bezpośrednio dla węzłów. Z wykorzystaniem narzędzia Nodal Orientation możliwa jest zmiana orientacji układów współrzędnych dla dowolnych węzłów, dzięki czemu możliwe jest zablokowanie translacji wzdłuż kierunków wyznaczanych przez układ obrócony o pewien kąt względem układu globalnego. Uzyskane mapy konturowe przemieszczeń wypadkowych dla dwóch typów analiz o odmiennie zlokalizowanych węzłach utwierdzanych, różnią się między sobą (rys. 11). Pomimo niezgodności w przemieszczeniach uzyskano mapy naprężeń redukowanych, które są jednakowe dla obu rozważanych analiz (rys. 12).

Obiekty znajdujące się w fazie lotu również mogą stanowić ciekawy obszar zastosowania zasady minimalnej wymaganej liczby więzów. Poddana oddziałującym obciążeniom rakieta w fazie lotu znajduje się w stanie równowagi dynamicznej. Kiedy wykonywane są manewry, siły bezwładności równoważą obciążenia zewnętrzne (przedstawione na rys. 13). ANSYS Workbench posiada wbudowane narzędzia pozwalające wygenerować i wprowadzić w układzie siły bezwładnościowe (Inertia Relief ). W takich przypadkach uzyskanie poprawnych wyników uzależnione będzie od przemyślanego doboru węzłów do ograniczenia stopni swobody. Zalecane takim przypadku jest wprowadzenie minimalnej liczby więzów wg kombinacji 3-2-1 lub 2-1 w zależności od tego czy przypadek dotyczy analizy trójwymiarowej czy dwuwymiarowej. Sprawdzenie warunków brzegowych polega na zweryfikowaniu sił reakcji w utwierdzanych węzłach – czy są one zbliżone do zera na wszystkich kierunkach odebranych stopni swobody.

Zastosowania w submodelingu

Submodeling jest techniką prowadzenia analiz, w której niewielki obszar pewnej struktury jest poddawany dodatkowej analizie z zagęszczoną siatką elementów skończonych. Zabieg ten stosowany jest w celu uzyskania dokładniejszych wyników w pożądanych obszarach, np. takich, które są szczególnie narażone na zwiększone wartości naprężeń. Submodel bazuje na wynikach z wstępnej analizy modelu globalnego, stanowiących dane wejściowe do analizy podrzędnej. Metoda ta oparta jest na zasadzie Saint Venant’a i odznacza się efektywnością zwłaszcza gdy granice submodelu znajdują się w dostatecznej odległości od przyłożonych obciążeń.

Tradycyjne podejście w submodelingu polega na zaimportowaniu przemieszczeniowych warunków brzegowych. Wyniki w węzłach nie pokrywających się z węzłami modelu globalnego wyznaczane są z wykorzystaniem funkcji kształtu. Pomimo, że podejście to jest powszechnie stosowane, posiada pewne ograniczenia, z których należy zdawać sobie sprawę:

1. Zalecane jest aby własności materiałowe modelu głównego i submodelu były ze sobą zgodne. Dodatkowo w przypadku importu do submodelu przemieszczeń z analizy globalnej modele geometryczne powinny być jak najbardziej do siebie podobne. Wszelkie zmiany sztywności w modelu podrzędnym (np. zmiana promienia karbu, dodanie do modelu spoin, itp.) mogą spowodować pewien błąd w uzyskiwanych wartościach naprężeń;
2. W niektórych typach analiz, zwłaszcza nieliniowych, jeśli w analizie globalnej dochodzi do uplastycznienia, stosowanie warunku przemieszczeniowego (Cut Boundary Constraint) w analizie submodelu jest niezalecane. Związane to jest z faktem,  że w analizie submodelu obszar uplastycznienia zwiększa się, a dane dotyczące przemieszczeń węzłów nie ulegają zmianie. Taka sytuacja może powodować uzyskanie niższych wartości naprężeń.

Niedogodności opisane w punkcie drugim mogą zostać zniwelowane poprzez zastosowanie innego podejścia – opartego na wykorzystaniu submodelu siłowego. W takim przypadku opracowuje się submodel, z odpowiednio zagęszczoną siatką elementów skończonych i przyłożonymi siłami, wyznaczonymi na podstawie modelu globalnego. Uzyskany zostaje podukład sił typowy jak dla elementu traktowanego jako ciało swobodne (free body diagram). Skoro siły w takim submodelu pozostają w równowadze, można przeprowadzić analizę wytrzymałościową z wykorzystaniem zasady minimalnej liczby więzów. Programy obliczeniowe mają możliwość wyznaczania sił i momentów oddziałujących w przekroju, a także zaaplikowania ich do odpowiednich węzłów opracowanego submodelu.

Rysunek nr 14 dotyczy submodelu przemieszczeniowego, dla którego sprawdzono wpływ zmiany sztywności na uzyskiwane wartości naprężeń redukowanych. Zmiana sztywności układu zrealizowana została poprzez dodanie materiału w obszarze, w którym wcześniej nie występował.

A – wersja modelu z promieniem zaokrąglenia karbu = 100 mm;

Model globalny A

Submodel A dla modelu globalnego A

Submodel B dla modelu globalnego A

B – wersja modelu z promieniem zaokrąglenia karbu = 50 mm.

Model globalny B

Submodel B dla modelu globalnego B

Autor: Radosław Ciemierkiewicz, MESco sp. z o.o.

1. K.S. Raghavan: Minimum Constaints in Finite Element Analysis – Concept and Applications.
2. Vince Adams, A Designer’s Guide to Simulation with Finite Element Analysis, NAFEMS Publication 2008.
3. K.S. Raghavan and H S Prasanna Kumar, Hybrid Submodeling Analysis – Development and Applications, ANSYS World Conference, Pittsburgh, 2008.

Więcej o ANSYS Mechanical