Analizy związane z zagadnieniami kontaktowymi są jednymi z najczęściej wykonywanych symulacji mechanicznych. Na podstawie analizy kontaktu użytkownik może przewidzieć szczelność badanego połączenia, zbadać naciski powierzchniowe, określić względny poślizg powierzchni kontaktowych a także wyznaczyć zużycie materiału w kontaktach tarciowych. Niestety ze względu na nieliniowy charakter kontaktów najlepiej odzwierciedlających rzeczywistość (Frictionless, Frictional, Rough) użytkownicy często mają problem z odpowiednim doborem ustawień elementów kontaktowych pozwalającym na uzyskanie zbieżności sił i przemieszczeń.
Jednym z pierwszych pytań, które powinien sobie zadać użytkownik jest jakie sformułowanie kontaktu będzie najlepsze dla jego zagadnienia. Najczęściej wybierane (jak i domyślne dla większości analiz) jest sformułowanie penetracyjne Augmented Lagrange działające w oparciu o numeryczną sztywność i penetrację (przenikanie) elementów kontaktowych (Rys. 1.). Największą wadą tego sformułowania jest fakt, że w rzeczywistości nie dochodzi do penetracji pomiędzy ciałami, tak więc rozwiązanie zagadnienia za pomocą sformułowania penetracyjnego już z poziomu teorii obciążone jest błędem. Oczywiście użytkownik może minimalizować penetrację zwiększając sztywność kontaktu, jednakże zbyt duża sztywność może doprowadzić do problemów ze zbieżnością. Zaletą tego rozwiązania jest relatywnie krótki czas obliczeń i możliwość stosowania solverów iteracyjnych.
Rys. 1. Sformułowanie penetracyjne: xp – wartość penetracji, kn – sztywność w kontakcie, Fn – siła normalna w kontakcie.
Innym podejściem jest zastosowanie sformułowania Normal Lagrange, które polega na wprowadzeniu do układu równań dodatkowych stopni swobody związanych z ciśnieniem w kontakcie. Podejście to umożliwia usunięcie nierzeczywistych efektów numerycznych – penetracja bliska zeru (zwykle o kilka rzędów wielkości mniejsza niż w sformułowaniu penetracyjnym) oraz brak konieczności wprowadzania sztucznej sztywności w kontakcie. Sformułowanie Normal Lagrange powinno być stosowane w przypadkach, gdy użytkownik chce uzyskać wysokiej jakości wyniki związane ze kształtem powierzchni kontaktowych (zagadnienia szczelności), gdy pomiędzy powierzchniami kontaktowymi dochodzi do względnie dużego poślizgu oraz w przypadkach ciężko zbieżnych kontaktów typu krawędź – powierzchnia. Wadą sformułowania Normal Lagrange jest zwiększony czas obliczeń spowodowany dodatkowymi stopniami swobody oraz koniecznością stosowania solverów typu Direct.
W ramach niniejszego wpisu zaprezentuję przykład zagadnienia kontaktowego rozwiązany z wykorzystaniem sformułowania Normal Lagrange, porównam wyniki ze sformułowaniem Augmented Lagrange (ustawienia domyślne), przedstawię najczęstszy problem pojawiający się przy wykorzystaniu tego sformułowania (Chattering) oraz metody pozwalające na radzenie sobie z nim.
Przykładem jest połączenie kołnierzowe zamodelowane za pomocą elementów bryłowych i połączone ze sobą szesnastoma śrubami modelowanymi elementami belkowymi (Rys. 2.). Elementy belkowe zostały połączone z powierzchniami modelującymi umiejscowienie podkładek. Pomiędzy kołnierzami utworzono kontakt tarciowy o współczynniku tarcia f = 0.12. Siatka elementów skończonych została utworzona za pomocą metody siatek powtarzalnych (Rys. 3.). Warunki brzegowe zostały przedstawione na Rys. 4. Analiza połączenia została podzielona na kilka kroków:
- Wstępne napięcie śrub za pomocą siłowych warunków brzegowych.
- Stabilizacja kontaktu po napięciu śrub oraz zmiana siłowych w. b. na przemieszczeniowe w. b.
- Przyłożenie momentu, którego celem jest rozdzielenie połączenia.
- Stabilizacja kontaktu po przyłożeniu momentu.
Rys. 2. Geometria połączenia oraz region kontaktu.
Przedstawioną analizę wykonano dla dwóch sformułowań połączenia kontaktowego. Wyniki analiz zaprezentowano w Tabeli 1. oraz na Rys. 5-7.
Tabela 1. Porównanie wyników obliczeń dla dwóch sformułowań kontaktu
| Augmented Lagrange | Normal Lagrange | |
| Penetracja po stabilizacji śrub [mm] | 1.2486e-004 | 3.9016e-015 |
| Penetracja po stabilizacji momentu [mm] | 1.8594e-004 | 9.9098e-08 |
| Maksymalne ciśnienie w kontakcie [MPa] | 44.625 | 47.622 |
| Minimalne ciśnienie w kontakcie [MPa] | 0 | -1.1499 |
| Średnie ciśnienie w kontakcie [MPa] | 7.7435 | 7.8774 |
| Maksymalne przemieszczenie modelu [mm] | 2.3195e-002 | 2.3292e-002 |
| Maksymalne naprężenia w modelu [MPa] | 196.52 | 195.77 |
| Liczba iteracji | 10 | 48 |
| Czas trwania symulacji | 23 min 13 s | 1 h 38 min |
Rys. 3. Siatka elementów skończonych oraz połączenia elementów belkowych.
Rys. 4. Warunki brzegowe i obciążenia modelu.
Rys. 5. Status kontaktu (podobny dla obu sformułowań kontaktu): a) po wstępnym napięciu śrub, b) po przyłożeniu momentu.
Rys. 6. Ciśnienie w kontakcie [MPa]: a) Augmented Lagrange, b) Normal Lagrange.
Rys. 7. Penetracja w kontakcie [mm]: a) Augmented Lagrange, b) Normal Lagrange.
Wyniki symulacji z wykorzystaniem sformułowania Augmented Lagrange wskazują na powstanie dużych obszarów relatywnie dużej penetracji natomiast sformułowanie Normal Lagrange prawie całkowicie ją eliminuje. Możemy również zauważyć, że na wynikach analizy ze sformułowaniem Normal Lagrange pojawiają się ujemne wartości ciśnienia w kontakcie. Pojawienie się ciśnienia „rozciągającego” jest efektem działania algorytmów zapobiegających chattering’owi. Chattering jest sytuacją w której elementy kontaktowe nagle (w kolejnych iteracjach) zmieniają swój status ,co jest spowodowanie właśnie prawie zerową penetracją. Aby zapobiec chattering’owi algorytmy sklejają miejscami model, tak aby wpływ ujemnego ciśnienia nie zaburzał zachowania modelu, a możliwe było szybsze uzyskanie zbieżności. Użytkownik ma możliwość sterowania dwoma parametrami, silnie wpływającymi na zbieżność analiz z kontaktami w sformułowaniu Normal Lagrange – dopuszczalna wartość penetracji (Real constant – 4 – FTOLN) oraz dopuszczalne ujemne ciśnienie w kontakcie (Real constant – 24 – TNOP). Im większe wartości przedstawionych parametrów tym szybciej możemy uzyskać zbieżność, lecz oddalamy się od rzeczywistych wyników. Dodatkowo użytkownik musi mieć świadomość, że wartości domyślne tych parametrów są zależne od wartości sił działających w modelu oraz przemieszczeń, których model doznaje. Może się więc okazać, że np. wartość parametru TNOP jest relatywnie duża i wpływa ona silnie na wyniki w kontakcie. Przykład wyników dla TNOP = – 5 MPa znajduje się na Rys. 8, a dla TNOP = – 0.05 MPa znajduje się na Rys. 9. Uzyskanie zbieżności dla pierwszej wartości parametrów nastąpiło po 6 iteracjach, natomiast dla drugiej po 11 iteracjach. Podsumowując kwestię parametrów sformułowania Normal Lagrange, zawsze należy zbadać wynikowe wartości ciśnień i sprawdzić czy ujemne ciśnienia nie wpływają na zachowanie modelu.
Rys. 8. Wyniki w kontakcie dla TNOP = -5 MPa: a) ciśnienie w kontakcie [MPa], b) status kontaktu.
Rys. 9. Wyniki w kontakcie dla TNOP = -0.05 MPa: a) ciśnienie w kontakcie [MPa], b) status kontaktu.
Autor: Marcin Hatłas